План курса «Теория колебаний»


      Основные понятия теории динамических систем
    1. Статика механической системы. Равновесие механической системы. Основные задачи статики. Принцип виртуальных перемещений. Условия равновесия механической системы в обобщенных координатах. Эквивалентные системы сил. Теорема о необходимых и достаточных условиях эквивалентности двух систем сил. Уравновешенная система сил.
    2. Статика твердого тела. Условия равновесия твердого тела. Статически определимые системы. Критерий эквивалентности систем сил, приложенных к твердому телу. Равнодействующая. Теорема Вариньона. Пара сил, плоскость пары, плечо, момент пары. Теория пар. Теорема Пуансо. Статические инварианты. Динамический винт. Теорема о приведении системы сил к динамическому винту. Частные случаи приведения системы сил.
    3. Малые колебания консервативной системы около положения равновесия. Устойчивость равновесия. Теорема Лагранжа о достаточных условиях устойчивости равновесия. Признаки неустойчивости равновесия. Линеаризация уравнений движения. Уравнения малых колебаний. Главные координаты и главные колебания. Уравнение частот. Вынужденные колебания системы с одной степенью свободы. Резонанс.
    4. Устойчивость движения. Дифференциальные уравнения возмущенного движения. Определение устойчивости. Функции Ляпунова. Теорема о поверхности со знакоопределенной функцией. Теорема Ляпунова об устойчивости движения. Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости. Теорема Четаева о неустойчивости. Теоремы Ляпунова о неустойчивости. Устойчивость линейных систем. Критерий Рауса-Гурвица. Устойчивость по первому при-ближению. Теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению. Критический случай. Влияние гироскопических и диссипативных сил с полной диссипацией на устойчивое положение равновесия консервативной системы. Коэффициенты устойчивости. Степень неустойчивости. Влияние гироскопических и диссипативных сил на неустойчивое равновесие.
    5. Вариационные принципы и интегральные инварианты. Принцип Гамильтона – Остроградского. Принцип Гамильтона - Остроградского для систем в поле потенциальных сил. Интегральный инвариант Пуанкаре-Картана. Универсальный интегральный инвариант Пуанкаре. Инвариантность фазового объема. Теорема Лиувилля. Теорема Ли Хуа-чжуна (без доказательства).
    6. Канонические преобразования. Понятие канонического преобразования. Теорема о необходимых и достаточных условиях каноничности преобразования. Производящая функция и валентность канонического преобразования. Теорема, устанавливающая связь между гамильтонианом исходной и преобразованной системы при каноническом преобразовании. Свободное каноническое преобразование и его производящая функция. Уравнение Гамильтона-Якоби. Полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби. Теорема Якоби. Главная функция Гамильтона. Частные случаи уравнения Гамильтона-Якоби. Метод разде-ления переменных.
    7. Нелинейные колебания. Понятие динамической системы (ДС). Состояние и оператор эволюции. Фазовое пространство, изображающая точка, фазовая траектория. Сосредоточенные ДС. Теорема о решениях ДС. Фазовый портрет ДС. Топологическая эквивалентность ДС. Аттрактор. Линейные ДС. Оператор эволюции и фазовые портреты линейных ДС. Нелинейные ДС. Неподвижные точки ДС и их устойчивость. Теорема Гробмана-Хартмана. Периодические решения ДС. Предельный цикл. Орбитальная устойчивость. Периодический аттрактор. Автоколебания.


Литература

    1. Маркеев А.П. Теоретическая механика. – Ижевск: НИЦ "РХД", 1999. – 569 с.
    2. Павленко Ю.Г. Лекции по теоретической механике. – М.: Изд-во МГУ, 1991. – 336 с.
    3. Гантмахер Ф.Р. Лекции по аналитической механике. – М.: Физматлит, 2001. – 264 с.
    4. Кузнецов С.П. Динамический хаос. – М.: Физматлит, 2001. – 296 с
    5. Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике. – М.:Наука, 1981. – 480 с.
    6. Сборник задач по аналитичеcкой механике: Учебное пособие/ Пятницкий Е.С. и др. – М.: Наука, 1980. – 320 с.
    7. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний.- М.: Наука, 1981.- 568 с.
    8. Мандельштам Л.И. Лекции по теории колебаний. – М.: Наука, 1972. – 470 с.
    9. Эрроусмит Д., Плейс К. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Качественная теория с приложениями. – М.: Мир, 1986. – 243 с.
    10. Табор М. Хаос и интегрируемость в нелинейной динамике. – М.: Эдиториал УРСС, 2001. – 320 с.
    11. Анищенко В.С. Сложные колебания в простых системах. – М. – Наука, 1990. – 312 c.
    12. Бутенин Н.В. и др. Введение в теорию нелинейных колебаний. – М.: Мир, 1976. – 384 с.
    13. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. – М.: Наука, 1992. – 455 с.
    14. Малинецкий Г.Г. Хаос, структуры, вычислительный эксперимент. – М. – 2002. – 258 с.
    15. Пановко Я.Г. Введение в теорию механических колебаний. – М.: Наука, 1991. – 255 с.
    16. Кузнецов А.П. и др. Линейные колебания и волны ( Сборник задач). – М.: Физматлит, 2001. – 128 с.
    17. Попова Л.Н. Самостоятельные работы по теории колебаний. Харьков: ХНУ имени В.Н.Каразина, 2011, 32 c.

Навчально-методичний комплекс

Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100