Мета курсу полягає у наданні майбутнім спеціалістам теоретичних знань з теорії методу скінченних елементів та практичного застосування теорії для рішення задач теоретичної механіки, механіки твердого деформівного тіла, механіки рідини, біомеханіки, а також знайомстві та опануванні навиками роботи з сучас¬ними комп’ютерними пакетами прикладних програм, які базуються на використанні методу скінченних елементів.
За результатом вивчення дисципліни студенти повинні знати:
Теоретичне обґрунтування методу скінченних елементів;
Типи скінченних елементів, методи будування сітки та види апроксимації;
Варіаційну постановку задач математичної фізики та перехід від операторної постановки до алгебраїчної системи рівнянь;
Особливості застосування методу скінченних елементів для рішення задач структурної механіки, механіки де формівного тіла та механіки рідини.
вміти:
Розв’язувати звичайні диференційні рівняння методом скінченних елементів;
Записувати задачі механіки у варіаційній формі та будувати їх розв’язок методом скінченних елементів
Будувати сітку для двовимірних та тривимірних областей;
Проводити апроксимацію рішення в довільній області;
Розв’язувати крайові задачі для рівнянь Пуассона в двовимірних та тривимірних областях.
План спецкурсу
Історія МСЕ і його роль у сучасних інженерних розрахунках. Загальні поняття методу і підходи. Пакетна реалізація. Приклади розрахунків.
Поняття про МСЕ. Основні етапи застосування методу. Приклади базисних функцій. Дослідження збіжності методу.
Реалізація МСЕ для одновимірного випадку. Двухкрапкова крайова задача для лінійного диференціального рівняння другого порядку. Варіаційна постановка. Методи Рітца і Гальоркіна.
Метод Рітца і лінійні елементи. Апроксимація Рітца. Лінійні елементи МКЭ. Матриці маси і жорсткості елемента. Побудова глобальних матриць.
Помилки лінійної апроксимації. Оцінка помилки в МСЕ. Необхідна і достатня умови збіжності методу Рітца.
Типи скінченних елементів в одновимірному, двовимірному і тривимірному випадках. Дискретизація області й особливості нумерації вузлів.
Лінійні інтерполяційні поліноми для дискретної області.
Властивості інтерполяційного полінома, збіжність, безперервність. Чотирикутні мультиплекс-елементи. Обчислення похідних функцій форми.
Дослідження збіжності наближеного рішення до точного. Матриця жорсткості для трикутних елементів. Білінійні елементи, ізопараметричні елементи, елементи вищих порядків.
МСЕ для еліптичних крайових задач. Запис функціонала в матричній формі. Диференціювання матричних співвідношень. Система МКЭ.
Рішення крайової задачі для звичайного диференціального рівняння методом скінченних елементів. Приклад розрахунку температурного поля в області складної форми
Розрахунок стрижневих конструкцій МСЕ. Приклад розрахунку плоскої задачі теорії пружності.
Змішана постановка для задач теорії пружності. Нелінійні задачі: пластичність, кінцеві деформації.
МСЕ для задачі гідромеханіки. Порівняння з методом скінченних обсягів. Задачі тепломасопереносу в пористих середовищах.
Моделювання задач механіки біологічних суцільних середовищ, які зростають.
Особливості програмної реалізації методу скінченних елементів.
Препроцесор: завдання геометрії задачі, типу та властивостей скінченних елементів, числа областей з різними властивостями, введення чисельних даних щодо матеріальних властивостей, навантажень і інших граничних умов.
Генерація розрахункової сітки. Вибір способу розв’язку рівнянь. Ітераційні методи. Розрахунок задачі і контроль ходу обчислень.
Постпроцесор, таблиця даних і візуалізація результатів. Експорт даних. Анімація.
Література
Еременко С.Ю. Методы конечных элементов в механике деформируемых тел. – Харьков:Основа. – 1991. – 272с.
Зенкевич О.С., Чанг И. Метод конечных элементов в теории сооружений и в механике сплошной среды. – М.:Недра. – 1974. – 238с.
Зенкевич О.С. Метод конечных элементов в технике. М.:Мир. - 1975.
Зенкевич О.С., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация. – М.:Мир. – 1986. – 318с.
Кизилова Н.Н. Метод конечных элементов в биомеханике // Современные проблемы математики, механики и информатики. - Харьков: Изд-во «Апостроф». - 2012. - C.201-217.
Куликов Ю.А. Решение плоской задачи теории упругости методом конечных элементов. – Горький. – 1980. – 68с.
Норри Д., де Фриз Ж. Введение в метод конечных элементов //М: Мир. - 1981.
Розин Л.А. Стержневые системы как системы конечных элементов. – Л.:Изд-во ЛГУ. – 1976. – 232с.
Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. – М.:Мир. – 1979. – 392с.
Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. М.:Мир. – 1977. – 349с.
Сьерле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. - М: Мир. - 1980.
Geramy A., Kizilova N., Terekhov L. Finite element method (FEM) analysis of the force systems produced by asymmetric inner headgear bows // Australian Orthodontic journal. – 2011. – v.27,N2. – P.125-131.
Інформаційні ресурси
Електронні підручники з методу скінченних елементів на CD в бібліотеці кафедри теоретичної та прикладної механіки.
Роздруковані методичні вказівки та конспект лекцій.
