План курса «Нелинейные динамические модели в механике»


      Основные понятия теории динамических систем
    1. Понятие динамической системы (ДС). Фазовое пространство, изображающая точка, фазовая траектория.
    2. Классификация ДС. Фазовый портрет ДС. Топологическая эквива-лентность ДС. Устойчивость решения ДС по Ляпунову. Орбитальная устойчивость. Неподвижные и обыкновенные точки. Аттрактор.
    3. Линейные ДС. Оператор эволюции. Фазовые портреты. Классификация неподвижных точек.
    4. Нелинейные ДС. Теорема Гробмана-Хартмана. Предельные множества траекторий. Устойчивость по Лагранжу.
    5. Периодические решения ДС. Предельный цикл. Элементы теории Флоке. Матрица монодромии и мультипликаторы периодических решений. Теорема Андронова-Витта.
    6. Характеристические показатели Ляпунова (ХПЛ), спектр ХПЛ, сигнатура спектра, старший показатель Ляпунова. Критерий устойчивости решения ДС. Теорема о нулевом показателе.
    7. Квазипериодическое движение.
    8. Консервативные, неконсервативные и диссипативные системы. Фазовый объем.
    9. Устойчивость по Пуассону. Регулярные и странные аттракторы.
    10. Метод точечных отображений Пуанкаре. Неподвижные точки отображения Пуанкаре. Отображение Пуанкаре для ДС на плоскости. Лестница Ламерея.
    11. Бифуркации в ДС. Бифуркация типа вилки, бифуркация Андронова-Хопфа. Бифуркации периодических решений: касательная бифуркация, бифуркация удвоения периода, бифуркация рождения тора.

      Диссипативные структуры в активных средах
    12. Активные среды. Диссипативные структуры. Автосолитоны. Локальная связь и уравнение состояния. Классификация активных систем.
    13. Пространственные структуры. Статические автосолитоны в системах малого размера ( – системы).
    14. Использование механической аналогии для исследования автосолитона. Горячие и холодные статические автосолитоны. Пичковые статические автосолитоны.
    15. Пространственно-временные структуры. Волны переключения. Определение скорости и формы волны переключения. Зависимость скорости волны переключения от ингибитора. Бегущие автосолитоны. Уравнения для быстрых и медленных распределений. Форма и скорость бегущих автосолитонов.
    16. Примеры автосолитонов

      Детерминированный хаос
    17. Система Лоренца. Термосифон. Постановка задачи. Вывод системы уравнений. Свойства решений. Приведение системы уравнений в частных производных к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Вывод уравнений Лоренца. Задача о конвекции в подогреваемом снизу слое жидкости. Постановка задачи. Аналитическое исследование модели Лоренца. Свойства системы Лоренца. Неподвижные точки и их устойчивость. Бифуркации в модели Лоренца. Результаты численного решения системы Лоренца. Аттрактор Лоренца.
    18. Фрактальные множества. Самоподобные множества. Размерность подобия. Фрак-тальная размерность Хаусдорфа-Безиковича. Определения фракталов. Примеры фракта-лов. Множество Кантора. Теорема о мощности множества Кантора. Количественные характеристики хаоса. Формула Каплана-Йорке.
    19. Сценарии перехода к хаосу. Сценарий Фейгенбаума


Литература

    1. Кузнецов Ю.И. Введение в теорию динамических систем. – М.: Изд-во МГУ, 1991.
    2. Кузнецов С.П. Динамический хаос. – М.: Физматлит, 2001.
    3. Полак Л.С., Михайлов А.С. Самоорганизация в неравновесных физико-химических системах. – М.: Наука, 1983.
    4. Лоскутов А.Ю., Михайлов А.С. Введение в синергетику. – М.: Наука, 1990.
    5. Кернер Б.С., Осипов В.В. Автосолитоны: Локализованные сильнонеравновесные области в однородных диссипативных системах. – М.: Наука, 1991.
    6. Холодниок М., Клич А., Кубичек М., Марек М. Методы анализа нелинейных дина-мических моделей. – М.: Мир, 1991.
    7. Фейгенбаум М. Универсальность в поведении нелинейных систем // УНФ, - 1983. – т.141, вып. 2.
    8. Кроновер Р.М. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории. – М.: Постмаркет, 2000.
    9. G.L.Baker, J.P.Gollub. Chaotic Dynamics: an introduction. – Cambridge University Press, 1996.
    10. Ахромееева Т.С., Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г., Самарский А.А. Нестационар-ные структуры и диффузионнный хаос. – М.: Наука, 1992.
    11. Анищенко В.С. Сложные колебания в простых системах. – М.: Наука, 1990.
    12. Табор М. Хаос и интегрируемость в нелинейной динамике. – М.: Эдиториал УРСС, 2001.

Навчально-методичний комплекс

Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100